Nachdem ich gestern schon was dazu geschrieben habe, hab ich heute nochmal neu überlegt. Es ist am Ende doch nicht sooo kompliziert, und ich will das hier vorrechnen. Gerne nachrechnen!

Zunächst zum Hintergrund zur adiabatischen Expansion/Kompression von idealen zweiatomigen Gasen.

Es gelten
(1) die ideale Gasgleichung, pV = NkT (N=Anzahl Moleküle, k=Boltzmannkonstante, T=absolute Temperatur),
(2) die innere Energie eines idealen zweiatomigen Gases ist U = 5/2 NkT.
(3) für _adiabatische_ Prozesse gilt der Hauptsatz der Thermodynamik in der Form dU = -pdV.

Aus (2) folgt für eine gegebene Gasmenge dU = 5/2 Nk dT, setzt man das gleich mit (3) und nutzt aus (1) Nk=pV/T, so ergibt sich für die adiabatische Expansion/Kompression dT/T = -2/5 dV/V. Integration und Nutzung von (1) ergibt hieraus die Beziehungen
(4) T V^(2/5) = const bzw. V T^(5/2) = const.
(5) p V^(7/5) = const bzw. V p^(5/7) = const.

und durch Kombination von (4) und (5) die Beziehung, die wir weiter unten brauchen:
(6) T p^(-2/7) = const bzw. p T^(-7/2) = const.

Die V-p-Beziehung aus (5) wird "Adiabatenlinie" genannt, der Exponent 7/5 der "Adiabatenkoeffizient".

Jetzt formulieren wir die konkrete Umfüllaufgabe:

Nehmen wir an, am Anfang befinden sich im Volumen V der Empfängerflasche N Sauerstoffmoleküle mit Druck p1 und (absoluter) Temperatur T.

In der Geberflasche befindet sich Sauerstoff bei Druck p0 und ebenfalls Temperatur T. Die Geberflasche sei unendlich groß, so dass sich ihr Druck und Temperatur beim Umfüllen nicht ändern.

Der Zieldruck des Befüllens sei p2, nach dem Befüllen befinden sich also N' Sauerstoffmoleküle mit Druck p2 und Temperatur T' im gleichen Volumen V der Empfängerflasche.

Die Empfängerflasche hat also vor dem Befüllen einen "Anfangs-Befüllungsgrad" von x=p1/p2<1, und natürlich gilt p0>p2>p1, sonst klappt das Umfüllen nicht. Das Verhältnis y=p0/p2>1 bezeichne ich mal als "Befüllungs-Überdruck" der Geberflasche.

Die Frage ist: ist T' kleiner oder größer T je nach Anfangs-Befüllungsgrad x und Befüllungs-Überdruck y.

Es gilt nach (1) vor dem Befüllen N = p1 V / kT und nach dem Befüllen N' = p2 V / kT', es folgt für das Verhältnis der Molekülzahl in der Flasche (dieses brauchen wir gleich nochmal):

(7) N/N' = (p1 T') / (p2 T) = x T'/T.

Nun passieren beim Umfüllen folgende drei Dinge:

(i) Die überströmende Gasmenge N'-N entspannt sich und kühlt dabei nach (6) ab auf T y^(-2/7) < T, so dass in der Empfängerflasche ein kühleres Gas hinzukommt.

(ii) Die bereits vorhandene Gasmenge N in der Empfängerflasche wird komprimiert und erwärmt sich nach (6) dabei auf T x^(-2/7) > T.

(iii) Thermalisierung: die beiden Mengen N und (N'-N) mischen sich und nehmen dabei (wegen der Energieerhaltung) als Temperatur das gewichtete Mittel ein:

(8) N' T' = N T x^(-2/7) + (N'-N) T y^(-2/7)

Dividieren durch N' T

T'/T = N/N' x^(-2/7) + y^(-2/7) - N/N' y^(-2/7),

Nutzung von (7)

T'/T = T'/T x^(5/7) + y^(-2/7) - T'/T x y^(-2/7),

und Auflösen nach T'/T ergibt das Ergebnis

(9) T'/T = y^(-2/7) / ( 1 - x^(5/7) + x y^(-2/7) )

Die Frage, ob die Flasche sich beim Befüllen erwärmt oder abkühlt, ist gleichbedeutend damit, ob die rechte Seite von (9) größer oder kleiner 1 ist. Das hängt offenbar nur von den beiden Parametern x ("Anfangs-Befüllungsgrad") und y ("Befüllungs-Überdruck") ab - nochmal zur Erinnerung, wir nehmen hier an, dass der Umfüllbogen perfekt isoliert ist (in der Realität würde von hier Wärme zuströmen) und die Geberflasche unendlich groß (in der Realität kühlt diese sich ab und auch ihr Druck nimmt ab, was die Rechnung verkompliziert).

Wann ist die rechte Seite größer 1 (also Erwärmung der Empfängerflasche)? Hierfür muss gelten

y^(-2/7) > 1 - x^(5/7) + x y^(-2/7)

bzw., wenn man nach y^(-2/7) auflöst:

(10) y^(-2/7) > (1 - x^(5/7) ) / (1-x)

Ist die Empfängerflasche anfangs leer (x=0), dann ist (10) nie erfüllt, da y>1 und deshalb y^(-2/7)<1. Die Empfängerflasche kühlt also ab.

Ist die Empfängerflasche teilbefüllt, aber der Befüllungs-Überdruck sehr sehr groß y>>1, dann ebenso: Die Empfängerflasche kühlt ab. Ab etwa y=3 gibt es keine Erwärmung, egal wie halbvoll die Empfängerflasche war.

Im Anhang eine Tabelle für die Endtemperatur T' in °C in Abhängigkeit von x und y für den Fall der Anfangstemperatur T=20°C.

Die deutlichste Erwärmung ergibt sich, wenn die Flasche vor dem Befüllen noch etwa halbvoll ist (x=0,5) und die Geberflasche weniger als den doppelten Zieldruck (y<2) hat. Hat die Geberflasche mehr als das, dann liegt die Erwärmung bereits unter 10°C.

Eine "Brandgefahr" ist also kein Thema. Aber wichtig: kurzen, dicken Umfüllbogen verwenden und nicht langsam befüllen, damit der Bogen nicht viel Wärme aus der Umgebung aufnehmen kann.

Wow. Viel Text.

Keine Ahnung was du da rechnest - du bist herzlich eingeladen nächste Woche vorbeizukommen und ich führe dir das vor.

Bei einer leeren Flasche ist der Effekt am stärksten.

Insgesamt sind die Oxygen System Hersteller wohl auch so schlau geworden, schreiben sie doch oft in die Manuals

*Warning*

Excessive fill rates create heat buildup in the high pressure
parts of the System, especially the bottle. Excessive heat
buildup will result in damage to the bottle, and may lead to
fire. Care must be taken during refilling of the Oxygen
System.

oder

CAUTION: FILL CYLINDER AT A SLOW RATE. IF CYLINDER IS FILLED TOO
RAPIDLY EXCESSIVE HEAT WILL DEVELOP.

Bei einigen Flugzeugen steht sogar ein max. psi increase/minute am filler port.

Bei einer leeren Flasche kommt der Effekt komplett vom Umfüllrohr, denn das Gas der Geberflasche kühlt sich beim Entspannen ab, und es gibt ja (fast) kein Gas in der Flasche, welches komprimiert wird.

Dass Gas sich beim Entspannen abkühlt, ist ebenfalls leicht zu demonstrieren. Ich bezweifle deshalb, dass da der Effekt am stärksten ist - es sei denn, das Umfüllrohr ist lang und dünn und aus Kupfer :-)

Konkretes Beispiel: wenn man eine MH-Flasche von halbvoll (75 bar) auf voll (150 bar) füllt und dabei eine Linde-Flasche mit 200bar nimmt, dann ist x=0,5 und y=1,3. Ergebnis siehe Tabelle oben, wobei die Wärmezuleitung vom Umfüllbogen noch on top kommt. Diese Erwärmung ist natürlich bemerkbar.

Allerdings ist diese Erwärmung überhaupt nicht gefährlich! - denn der Maximaldruck wird ja nicht überschritten, und 50°C wird die Flasche ja wohl aushalten. Die Konsequenz ist einfach, dass nach Abkühlen der Druck sinkt und deshalb die Flasche wiederum "nicht voll" erscheint, also muss man da nochmal nachfüllen, um sie wirklich voll zu bekommen.

Die Notwendigkeit der "max psi/min increase" verstehe ich so, dass man denn nicht zweimal befüllen muss, weil die Flasche schon während des Befüllens wieder kühlen kann.

Jedenfalls entsteht bei einem _adiabatischen_ Prozess sicher nicht unterschiedlich viel Wärme, je nachdem wie schnell der abläuft.

PS. Der "viele Text" mag den ein oder anderen interessieren. Hier im Forum wurde ja schon oft über Thermodynamik geschrieben.

Wenn eine theoretische Überlegung in der Praxis nicht beobachtet werden kann - ist dann die Theorie falsch oder die Praxis?

Ich ziehe die Praxis vor.

Man nehme sich einen Taucherarzt, eine Druckkammer, und mache Versuche. Zur Not habe ich einen Taucherarzt

Das gleiche gilt für den Fliegerarzt.

Man nehme sich einen belastungsfähigen Fliegerarzt, nehme sich eine Unterdruckkammer, und sauge die Luft bis auf 12 000 Meter ab. Dann werden wir sehen, was das Gebastel hält. Gebastel = mobiles Sauerstoff ( keislauf ) gerät.

Ja klar. Gelesen und nachgerechnet.

In Kürze (vielleicht mal in einer ruhigen Minute mehr dazu, aber eventuell willst Du ja auch nochmal schauen, ob Du eine theoretische Beschreibung findest, die tatsächlich zu den Beobachtungen passt):

Du änderst in der Gasflasche nicht nur die Temperatur, sondern auch die Stoffmengenzahl. Das totale Differenzial der inneren Energie wäre also nicht dU = 5k/2 N dT, sondern dU = 5k/2 (N dT +T dN). Üblicherweise nutzt man für Prozesse mit Stoffmengenänderung die Entropiebilanz zur Lösung, da diese Prozesse irreversibel sind (man hat zumindest die Mischungsentropie)

Du vernachlässigst die Arbeit, die notwendig ist, das Gas in die Flasche einzuschieben (auch sinnigerweise Einschubarbeit genannt). Strömungsprozesse arbeiten deshalb öfter mit der Enthalpie, um den energetischen Zustand des Fluids zu beschreiben.

Dann würde ich Dich kurz darauf hinweisen, dass Du die Entropiebilanz verletzt, wenn Du annimmst, dass sich ein Gas durch Durchströmen eines Befüllbogens in einer konstanten Umgebungstemperatur von 20°C auf 50°C aufwärmst. Überlege doch auch mal den Wärmestrom, der über ein Umfüllbogen der Umgebung entnommen werden müsste, um das Gas entsprechend zu erwärmen. Die isochore molare Wärmekapazität von zweiatomigen idealen Gasen ist Cm,V = 3R/2 und die isobare molare Wärmekapazität Cm,p = 5R/2. Dass der Vorgang nicht mehr adiabat ist, wenn Energie aus der Umgebung aufgenommen wird, versteht sich von selbst, denke ich.

In Kürze (vielleicht mal in einer ruhigen Minute mehr dazu, aber eventuell willst Du ja auch nochmal schauen, ob Du eine theoretische Beschreibung findest, die tatsächlich zu den Beobachtungen passt):

Meine Beschreibung bezieht sich und passt - wie mehrfach geschrieben - auf den _adiabatischen_ Prozess. Wenn jemand über einen Zeitraum von 2h und über eine lange dünne Leitung befüllt, ist das eher isotherm als adiabatisch. Dann sieht alles anders aus. Das sind aber einfach zwei verschiedene Situationen, es ist nicht die eine richtig und die andere falsch.

Warum habe ich den adiabatischen Prozess betrachtet? Weil ich selbst über einen kurzen, dicken Umfüllbogen innerhalb von einer Minute befülle, und weil hier die Behauptung war, dass ein schnelles Befüllen zwangsläufig mit übergroßer Erhitzung und Brandgefahr einherginge.

Ich befülle ohne Probleme mit kurzem dicken Rohr und einem tragbaren System, nicht fest eingebaut im Flieger, keine lange Leitung. Durchaus mit merklicher, aber nicht bedenklicher Erwärmung, wenn die Flasche vorher halbvoll war. Dann muss ich nach Abkühlung eben nochmal nachfüllen.

Du änderst in der Gasflasche nicht nur die Temperatur, sondern auch die Stoffmengenzahl. Das totale Differenzial der inneren Energie wäre also nicht dU = 5k/2 N dT, sondern dU = 5k/2 (N dT +T dN).

Bitte lesen was ich schreibe: Die obige Herleitung der adiabatischen Kompression bezieht sich auf die zu verdichtende Gasmenge, die vorher schon in der Flasche ist. Für die gilt U=5/2 NkT. Das Ergebnis, die Beziehung T V^(2/5) = const für die Adiabate eines zweiatomigen Gases, kann man auch in Formelsammlungen finden, ich leite es mir aber lieber selbst her, weil ich mir sowas wie "kappa=7/5" nicht merken will.

(Für die innere Energie des gesamten Flascheninhalts stimmt dU = 5k/2 (N dT +T dN), wobei du hier mit T aufpassen müsstest - dieses T wäre nämlich die Temperatur des einströmenden Gases, im adiabatischen Fall also abgekühlt durch die Expansion von der Geberflasche. Ich habe tatsächlich mit einer solchen differenziellen Betrachtung begonnen, dann ist mir aber der einfachere obige Rechenweg eingefallen. Es müssten aber beide Rechenwege zum gleichen Ergebnis führen.)

Üblicherweise nutzt man für Prozesse mit Stoffmengenänderung die Entropiebilanz zur Lösung, da diese Prozesse irreversibel sind (man hat zumindest die Mischungsentropie)

Hm. Auch dein Ansatz oben nutzt dT und nicht dS. Was meinst du also?

Für einen _adiabatischen_ Prozess nutzt man, meine ich, sinnvollerweise die Energieerhaltung (korrigiert: die Abwesenheit von Wärmeaustausch). Und die ist sowohl durch die Adiabatenbeziehung (in der Flasche und für das überströmende Gas) als auch bei der Mischung der Gase danach recht einfach sicherzustellen.

Du vernachlässigst die Arbeit, die notwendig ist, das Gas in die Flasche einzuschieben (auch sinnigerweise Einschubarbeit genannt).

Die berücksichtige ich explizit mit der Erwärmung durch die adiabatische Kompression des Restgases in der Flasche.

Strömungsprozesse arbeiten deshalb öfter mit der Enthalpie, um den energetischen Zustand des Fluids zu beschreiben.

Die Enthalpie nutzt man sinnvollerweise dann, wenn nicht das Volumen, sondern der Druck konstant (oder zumindest bekannt) ist. Hier ist genau das nicht der Fall: das Gesamtvolumen V ist fest, die Drücke ändern sich. Von daher ist die Enthalpie hier keine "handliche" Größe. Aber auch hier wieder: Man kann natürlich auch mit H statt U rechnen, das sollte nicht zu einem anderen Ergebnis führen.

Dann würde ich Dich kurz darauf hinweisen, dass Du die Entropiebilanz verletzt, wenn Du annimmst, dass sich ein Gas durch Durchströmen eines Befüllbogens in einer konstanten Umgebungstemperatur von 20°C auf 50°C aufwärmst.

Ich treffe diese Annahme nicht. Wo hätte ich das geschrieben? Ganz im Gegenteil, ich schreibe doch mehrfach, dass sich das Umfüllrohr abkühlt und deshalb Wärme von der Umgebung aufnimmt, und dass ich diesen Wärmestrom aber vernachlässige, weil ich mir die Frage nach einem adiabatischen Prozess (also Extremfall sehr kurzer Bogen, sehr schnelle Befüllung) gestellt habe.

Überlege doch auch mal den Wärmestrom, der über ein Umfüllbogen der Umgebung entnommen werden müsste, um das Gas entsprechend zu erwärmen. Die isochore molare Wärmekapazität von zweiatomigen idealen Gasen ist Cm,V = 3R/2 und die isobare molare Wärmekapazität Cm,p = 5R/2. Dass der Vorgang nicht mehr adiabat ist, wenn Energie aus der Umgebung aufgenommen wird, versteht sich von selbst, denke ich.

Das ist wie bereits gesagt, ein anderer Fall, den wir auch mal betrachten können. Im Extremfall könnten wir ja annehmen, dass Horsts langes, dünnes Rohr beim langsamen Befüllen stets die Umgebungstemperatur behält, während die Empfängerflasche ungünstigerweise dick verpackt (perfekt isoliert) im Flugzeug liegt. Dann ist die Erwärmung natürlich größer, denn das einströmende Gas hat dann die Umgebungstemperatur.

Am besten ruft Horst alle Flugzeughersteller an und bittet sie, ihre Maintenance Manuals dementsprechend zu ändern.

"Hau schnell rein das Zeug, passt schon"

;-)

Justus, das ist nicht was ich schreibe.

Im übrigen: Ich bin an einer Diskussion darüber interessiert, was beim Umfüllen wirklich passiert. Nicht darüber, wer Recht hat.

Mein Angebot steht..

Ok, also nochmal für die, die Experimente bevorzugen:

Die unstrittige Behauptung ist, dass die Flasche beim Umfüllen warm wird und ein langsames Umfüllen der Flasche Zeit lässt, zwischendurch abzukühlen.

Die strittige Behauptung ist, dass eine höhere Umfüllgeschwindigkeit zu mehr Wärmeeintrag in die Flasche führt, und dass ein langes dünnes Umfüllrohr und nur leicht geöffnetes Ventil diesen Wärmeeintrag verkleinert. Da wende ich ein, ein langsames Umfüllen mit langem Rohr sollte zu mehr Wärmeeintrag führen, weil das Rohr selbst kalt wird, über die längere Zeit mehr Wärme aufnimmt und diese dann teilweise in der Flasche landet.

Jetzt klar?

Die strittige Frage könnten evtl. folgendermaßen testen:

1. Schnelles Befüllen einer gut thermisch isolierten, halbvollen Flasche auf ihren Nenndruck mit einem kurzen Umfüllbogen innerhalb von wenigen Sekunden. Fairerweise 10min warten, weil die thermische Isolierung nie perfekt ist.

2. Gleichmäßiges Befüllen einer baugleichen zweiten, wieder gut thermisch isolierten und halbvollen Flasche mit einem langen, dünnen Umfüllrohr über einen Zeitraum von 10min.

Welche Flasche hat am Ende die höhere Temperatur? Wie ändern sich diese Temperaturen ggf., wenn die Flaschen am Anfang komplett leer sind?

Du kannst nicht eine Formel unter vereinfachten Annahmen herleiten und diese dann bei der Anwendung ignorieren, das funktioniert so nicht.

Malte, ich mache genau eine Annahme: dass man den Prozess gedanklich in drei Schritte teilen kann:

1. Kompression des Restgases in der Flasche auf den Nenndruck - dabei wird's wärmer

2. Einfüllen des frischen Gases in das freigewordene Volumen - dabei wird's kälter

3. Thermalisierung.

Alle drei Schritt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung, und der dritte Schritt ohne mechanische Arbeit.

Mir erscheint das intuitiv richtig. Dir nicht?

Ach so kompliziert ist das in echt alles nicht, Max. Schlauch ran, Ventil büschen auf, warten bis sich das langsam füllt. Überlegen, ob man in der Zwischenzeit den Ölwechsel schafft, oder lieber nen Bierchen trinkt. ;-)

Alle drei Schritt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung,

Und genau das ist die kritische Annahme, die man in der Praxis nicht herstellen kann. Aus Sicht des Gagses (und Du hast nur die Gase betrachtet) ist die Umgebung ja nicht nur die Umgebung, sondern auch die Flasche, Ventile, etc.

In Deinem Teilprozess 2 läßt es sich nicht vermeiden, dass unmittelbar dort wo die Dekompression stattfindet , also am Ventil der Geberflasche, ein relativ hoher Wärmeaustausch stattfindet. Das Ventil wird spürbar kalt. Damit ist der Vorgang aus Sicht des Gasvolumens nicht mehr adiabatisch.
Auf Grund der Energieerhaltung des Systems Gas, Flaschen und Umfüllbogen, welches in erster Näherung tatsächlich wenig bzw. relativ langsam Energie mit der Umgebung austauscht, muss es deswegen auf der Empfängerseite irgendwo spürbar wärmer werden.
Oder anders ausgedrückt: Da Dein Prozess 3 (die Thermalisierung) zwar zwischen den Gasen aber nicht zwischen den Flaschen stattfindet hast Du in der Praxis dennoch eine warme und eine kalte Seite.

Aus diesem Grund ist auch im Experiment vergleichsweise egal, ob die Flasche isoliert ist ...

1. Schnelles Befüllen einer gut thermisch isolierten, halbvollen Flasche auf ihren Nenndruck mit einem kurzen Umfüllbogen innerhalb von wenigen Sekunden.

... man müsste das Gas gegen die Flasche isolieren, was praktisch kaum geht. Höchstens bei einer "explosionsartigen" Befüllung wäre der Wärmeaustausch zwischen Flaschen und Gas relativ gering - aber das ist aus anderen Gründen schwer experimentell zu überprüfen.

In der Theorie sind Theorie und Praxis gleich - praktisch ist das aber meist anders ;-)

Nirgendwo hab ich behauptet, man könne das Umfüllrohr ideal isolieren. Ich finde es aber interessant, sich mal Gedanken zu machen, was beim Umfüllen an Thermodynamik passiert.

Hier wurde vermutet, ich glaube von Horst, die Erwärmung der Flasche käme von einem "Verdichtungsstoß" oder "Reibung im Rohr" her und würde deshalb bei schnellem Befüllen stärker. Justus schrieb, besonders stark würde sich die Flasche erwärmen, wenn sie am Anfang leer wäre.

Ich meine hingegen, hier passiert genau folgendes:

(i) Das Restgas in der Flasche wird verdichtet und erwärmt sich. Dieser Effekt ist besonders groß, wenn die Flasche am Anfang etwa halbvoll ist, denn bei leerer Flasche gibt's nichts zu verdichten und bei voller nichts nachzufüllen.

(ii) Das nachgefüllte Gas entspannt sich von der Geberflasche auf den Druck der Empfängerflasche, und kühlt damit das Umfüllrohr und auch die Empfängerflasche ab (genauer sogar beide Flaschen, aber die Geberflasche vernachlässige ich mal). Dieser Effekt ist am stärksten, wenn die Druckdifferenz besonders groß ist - also am Anfang des Befüllens bei einer anfangs leeren Flasche.

(iii) Durch die Wechselwirkung des Umfüllrohrs mit der Umgebung gibt es einen Wärmeeintrag in die Flasche. Der ist besonders groß, wenn man langsam befüllt und das Rohr lang und dünn ist.

(iv) Die Flasche kühlt über die Zeit natürlich auch wieder ab, und das natürlich am meisten bei langsamem Befüllen, weil sie dann mehr Zeit dafür hat.

Bei anfangs "leerer" Flasche ist (i) vernachlässigbar, und bei schnellem Befüllen über ein kurzes Rohr sind (iii) und (iv) vernachlässigbar. In diesem Fall sollte es keine Erwärmung oder sogar eine Abkühlung geben, siehe meine Tabelle oben.

Und das wäre das Gegenteil von dem, was Horst und Justus oben schreiben. Das kann und werde ich ausprobieren und das Ergebnis hier posten. Auch für den Fall natürlich, dass ich falsch liegen sollte.

Auf die "Gefahr" hin, dass euch das nervt - ich habe Maltes Vorschlag, differenziell mit der Enthalpie zu rechnen, umgesetzt.

Und im Ergebnis erklärt das m.E. alle berichtete Beobachtungen.

(wenn die Rechnung nervt, der muss sie nicht lesen - andere interessiert es vielleicht).

Also:

Definition der Enthalpie des idealen zweiatomigen Gases

H = U + pV = 5/2 NkT + NkT = 7/2 NkT

(dabei wurde wieder mal pV=NkT genutzt). Daraus folgt

(1) dH = 7/2 k (N dT + T dN)

Nach dem ersten Hauptsatz

dH = dU + d(pV) = -pdV + (pdV+Vdp) = Vdp

Wegen der Hinzugabe von neuen Molekülen bei der adiabatisch abgekühlten Temperatur T' muss das um einen Term ergänzt werden

(2) dH = Vdp + 7/2 kT' dN

Gleichsetzen von (1) und (2) und Division durch NkT bzw. pV, was das Gleiche ist, ergibt

7/2 dT/T + 7/2 dN/N = dp/p + 7/2 T'/T dN/N

Sammeln der Terme und Durchmultipliziern mit 2/7 T/T', dabei benutzen dass dN/N=dp/p-dT/T (wegen pV=NkT und V=const):

(3) dT/T = dp/p (1 - (5/7) T/T' )

Einsetzen von T' = T0 (p/p0)^(2/7), wobei p0, T0 Druck und Temperatur der Geberflasche sind:

(4) dT/T = dp/p (1 - (5/7) (T/T0) (p/p0)^(-2/7) )

Hier sieht man, dass beim Beginn des Befüllens, also wenn beide Flaschen noch die Temperatur T=T0 haben, dT genau dann negativ wird, also T zunächst abnimmt, wenn die Klammer in (4) negativ ist. Das ist der Fall, wenn

p/p0 < (7/5)^(-7/2) = 0,3

ist, also wenn der Empfängerflasche weniger als 30% des Drucks der Geberflasche hat. Dann nimmt die Temperatur also _anfangs_ ab. Für (4) findet Mathematica folgende analytische Lösung:

T/T0 = (p/p1) (p/p0)^(2/7) (p1/p0)^(2/7) /

[ ((p/p1)+(p/p0)^(2/7)) (p1/p0)^(2/7) - (p/p0)^(2/7) ]

wobei hier p1 der Anfangsdruck der Empfängerflasche ist und T0 deren Anfangstemperatur. Setzt man hier meine Variablen "Anfangs-Befüllungsgrad" x=p1/p und "Befüllungs-Überdruck" y=p0/p aus dem obigen Posting ein, dann ergibt sich

T/T0 = y^(-2/7) / ( 1 - x^(5/7) + x y^(-2/7) )

also genau die Formel (9) aus dem früheren Posting. Diese Formel und damit auch die Tabelle waren also bereits exakt richtig für den idealiserten Fall "unendlich große Geberflasche, perfekt thermisch isoliertes System".

Neu kann ich aber jetzt Maltes zweiten Vorschlag umsetzen und in dieser differenziellen Betrachtung sowohl die Wärmeaufnahme des Umfüllbogens sowie auch die Abkühlung der Flasche mit aufnehmen und das Ganze numerisch lösen.

Dazu nehme ich in (3) die Zeit mit rein: mit T/dt durchmultiplizieren, und durch einen Zusatzterm die Thermalisierung der Flasche über eine Zeit Z eingefügt:

(5) dT/dt = (T/p) (1 - (5/7) T/T' ) dp/dt + (T0-T)/Z

Leider weiß ich die konkreten Wärmeleitungskoeffizienten nicht, also nehme ich einfach zum Ausprobieren mal an, dass die Flasche mit einer Zeitkonstante Z=30min mit der Umgebung thermalisiert, und nehme die beiden Extremfälle "Befüllen innerhalb von 5s mit kurzen Rohr" (Wärmeeintrag vom Umfüllrohr vernachlässigt, also T' wie oben) sowie "Befüllen über 2 Stunden mit langem dünnen Rohr" (Umfüllrohr bleibt bei Raumtemperatur, also T'=T0).

Für eine anfangs halbgefüllte Flasche bei Raumtemperatur (20°C) und 75 bar, Geberflasche bei 200 bar und Raumtemperatur, und Auffüllen bis 150 bar ergibt sich:

* im ersten Fall (schnelles Befüllen) steigt die Temperatur innerhalb der 5 Sekunden des Befüllvorgangs auf 44°C (das entspricht übrigens der Formel von oben) und dann kühlt die Flasche ab. Nach 3h hat sie längst wieder Raumtemperatur erreicht.

* im zweiten Fall (langsames Befüllen mit langem Rohr) steigt die Temperatur der Flasche über etwa 50min stetig an bis auf ca. 33 Grad. Dort verbleibt sie bis zum Abschluss des Befüllvorgangs. Nach 3h, also eine Stunde nach Ende der Befüllung, hat sie immer noch ca. 24°C.

Schlussendlich noch die Sache mit der anfangs leeren Flasche bei ansonsten gleichen Annahmen. Da ist der Unterschied dramatisch.

* im ersten Fall (schnelles Befüllen) SINKT die Temperatur innerhalb der 5 Sekunden des Befüllvorgangs auf unter 5 Grad ab - das wird so extrem nicht passieren, immerhin wurde hier die Wärmekapazität der Flasche selbst vernachlässigt. Danach wärmt sie wieder auf Raumtemperatur auf.

* im zweiten Fall (langsames Befüllen mit langem Rohr) steigt die Temperatur extrem an auf über 100°C. Auch das ist vermutlich wieder dem Umstand geschuldet, dass die Wärmekapazität der Flasche hier vernachlässigt wurde. Aber die grundsätzliche Aussage "bei leerer Flasche ist der Effekt am stärksten" ist damit nachvollziehbar.

Schlussfolgerung daraus: die Nachfüllrohre bei den eingebauten Flaschen sind "lang und dünn", jedenfalls nicht (gut) isoliert, und daher SEHR langsames Befüllen die bessere Wahl, zumal man nicht weiß, wie schnell die eingebaute Flasche abkühlt. Bei einem mobilen System hingegen würde ich den Umfüllbogen mit Schaumstoff etwas isolieren und schnell befüllen, ggf. nach einer Wartezeit nochmal nachfüllen.

(kühlt...) auch die Empfängerflasche ab (genauer sogar beide Flaschen, aber die Geberflasche vernachlässige ich mal).

Ich bin weiterhin davon überzeugt, dass diese Annahme eine zu starke Vereinfachung ist und ganz im Gegenteil die Abkühlung der "Geberflasche" und deren Armatur, also genauer der Energietransfer von der Geberflasche auf das expandierende Gas, der wesentliche Faktor ist, der auf der anderen Seite in der Empfängerflasche zu einer Erwärmung führt.

Wir haben hier im Modell eine klassische Wärmepumpe mit Kältekompressor...

Ich mache das ganz anders: Ich lasse die Flasche bei Oxyparat füllen, dann schließe ich das O2D2 an und atme den Sauerstoff weg. Dann lass ich sie wieder voll machen.

;-)

Wir haben hier im Modell eine klassische Wärmepumpe mit Kältekompressor...

Nein. Ich verstehe zwar, warum du das meinst - weil die eine Seite sich abkühlt und die andere sich erwärmt. Aber das Zusammenspiel der verschiedenen Faktoren habe ich ja oben nachvollziehbar dargestellt, und es unterscheidet sich (mindestens) in einem ganz wesentlichen Punkt von der Wärmepumpe: die Wärmepumpe nutzt mechanische Arbeit, um Wärme _entgegen_ der Richtung zu pumpen, in die sie normalerweise fließen würde (von heiß nach kalt). Beim Umfüllen von Sauerstoff von einer in die andere Flasche gibt's aber keine mechanische Arbeit, die hinzugefügt würde, und der Vorgang geschieht ganz "freiwillig".

Die Vernachlässigung des Abkühleffekts der großen Flasche ist nur dann unzulässig, wenn die große Flasche eben nicht groß genug ist. In jedem Fall ließe sich das leicht noch mit einfügen, ich würde davon aber keine neuen Erkenntnisse erwarten..

Ich habe das Gefühl, durch die Berechnungen den Vorgang und alle berichteten Beobachtungen (die sich gar nicht widersprechen, es sind einfach verschiedene Situationen) wirklich verstanden zu haben.

"denn bei leerer Flasche gibt's nichts zu verdichten"

Richtig. Das ist das bekannte Sauerstoffflaschenvakuum

Es stimmt halt, bei leerer Flasche gibt's drinnen nichts zu verdichten. Wenn aber noch 1bar Sauerstoff drin ist, was in der Praxis häufiger vorkommen wird als eine evakuierte Flasche, dann ist immer noch so wenig drin, dass wir das getrost vernachlässigen können.