Die EU und erst Recht die EASA ist kein Staat. Deswegen:

EASA-Lizenzen werden unionsrechtlich „im Namen aller Mitgliedstaaten“ ausgestellt.

Nein - sie werden von einer nationalen Behörde nach den EASA-Regeln ausgestellt.

Jeder Mitgliedstaat muss sie so behandeln, als wäre sie „seine“ Lizenz

Zum Glück: Nein! Im Gegensatz zu einer in Deutschland ausgestellten Lizenz darf das LBA eine von Autrocontrol ausgestelle Lizenz gar nicht "behandeln". Und das ist gut so, sonst würde ausflaggen ja gar nix bringen.

Deutschland ist rechtlich verpflichtet, deine AT-SPL als voll gültige deutsche Pilotenlizenz anzuerkennen.

Das könnte man jetzt länger in aller Feinheit diskutieren, ist aber für die Frage wenig relevant. Die Einschränkung, dass man, wenn man mit einer Austrocontrol-Lizenz in Deutschland eine N-Reg fliegen will, zusätzlich eine FAA-Lizenz braucht ist ja keine Regelung von Deutschland, sondern eine Anforderung der USA.

„issued by the State in which the aircraft is operated“
Denn:

Staat der Operation: Deutschland
Gültige Pilotenlizenz nach deutschem (EU-)Recht: ja

Da steht eben nicht "valid in the state" sondern "issued by the state" - das ist schwer anders zu verstehen...

(Also genau genommen steht da "...a pilot license issued by that country may be used." aber "country" ist die EASA noch weniger, als "state")